Preliminary Results for the Study of the Godunov Scheme Applied to the Linear Wave Equation with Porosity at Low Mach Number

We introduce continuous tools to study the low Mach number behavior of the Godunov scheme applied to the linear wave equation with porosity on cartesian meshes. More precisely, we extend the Hodge decomposition to a weighted L space in the continuous case and we study the properties of the modified equation associated to this Godunov scheme. This allows to partly explain the inaccuracy of the Godunov scheme at low Mach number on cartesian meshes and to propose two corrections: a first one named low Mach and a second one named all Mach. These results are preliminary since it remains to prove them in the discrete case. Résumé. Nous introduisons des outils au niveau continu pour étudier le comportement du schéma de Godunov à bas nombre de Mach appliqué à l’équation des ondes avec porosité sur maillage cartésien. Plus précisément, nous étendons la décomposition de Hodge à un espace L avec poids et nous étudions les propriétés de l’équation modifiée associée au schéma de Godunov. Cela permet de partiellement expliquer la perte de précision du schéma de Godunov à bas nombre de Mach sur maillage cartésien et de proposer deux corrections: une première dite bas Mach et une seconde dite tout Mach. Ces résultats sont préliminaires puisqu’il reste à les étendre au niveau discret.